Função Linear: Introdução, Conceitos e Exercícios

A função linear é um conceito fundamental no estudo da matemática, amplamente utilizado em diversas áreas, como:

• Física;
• Economia;
• Engenharia; e
• Ciências sociais.

Neste artigo, vamos explorar os principais aspectos da função linear, desde sua definição básica até sua aplicação prática.

O que é uma função linear?

Uma função linear é uma relação matemática entre duas variáveis, x e y, que pode ser expressa por uma equação do tipo y = mx + b, onde m e b são constantes.

O que é m e b?

Em uma função linear da forma y = mx + b, os termos “m” e “b” são coeficientes que desempenham papéis específicos:

1. Coeficiente angular (m):
   O coeficiente “m” representa a inclinação da reta no gráfico da função linear. Ele indica a taxa de variação de y em relação a x. Em outras palavras, é a medida de quanto y muda à medida que x aumenta ou diminui. Um valor positivo de “m” indica uma inclinação positiva (a reta sobe da esquerda para a direita), enquanto um valor negativo de “m” indica uma inclinação negativa (a reta desce da esquerda para a direita). Quanto maior o valor absoluto de “m”, mais íngreme é a inclinação da reta.
   
2. Coeficiente linear (b):
   O coeficiente “b” é chamado de coeficiente linear ou ordenada na origem. Ele representa o ponto de interseção da reta com o eixo y. Em outras palavras, é o valor de y quando x é igual a zero. O coeficiente linear influencia a posição vertical da reta no gráfico da função linear. Se b for positivo, a reta interceptará o eixo y acima da origem; se b for negativo, a reta interceptará o eixo y abaixo da origem.

Em resumo, “m” determina a inclinação da reta e “b” determina o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Esses coeficientes são essenciais para descrever e representar graficamente uma função linear.

O que é uma variável?

Uma variável é um símbolo ou quantidade que pode assumir diferentes valores em um contexto específico, podendo representar uma característica, uma propriedade ou um elemento que pode variar ou ser medido.

Além disso, ela é usada para representar informações desconhecidas ou que podem mudar em uma situação ou equação matemática.

A equação y = mx + b

A equação y = mx + b é conhecida como a forma geral da função linear, onde:

• x representa a variável independente; e
• y a variável dependente.

Essa equação descreve uma reta no plano cartesiano, em que m determina a inclinação da reta e b representa o ponto em que a reta corta o eixo y.

O que é um plano cartesiano?

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas que utiliza dois eixos perpendiculares, um deles é o eixo x e o outro é o eixo y, para representar pontos no espaço bidimensional.

Além disso, ele também é utilizado para visualizar e estudar relações entre variáveis em matemática e outras disciplinas.

O que é uma varíavel dependente e uma variável independente?

Agora iremos falar sobre o que são variáveis dependentes e independentes. Portanto, uma variável independente é aquela que pode ser livremente escolhida ou manipulada em um experimento ou estudo.

Ela é representada por x na função e é o valor que influencia ou afeta a variável dependente.

Por outro lado, uma variável dependente é aquela que é afetada ou depende dos valores da variável independente. Ela é representada por y na função e seu valor é determinado pelas escolhas ou manipulações da variável independente.

Em uma função linear, a variável independente (x) é aquela que podemos escolher livremente e a variável dependente (y) é determinada pelo valor da variável independente, seguindo a relação estabelecida pela função.

Quais são as propriedades da função linear?

Ela apresenta algumas propriedades importantes. Veja abaixo algumas delas:

1. Inclinação constante
   
   A inclinação da reta em uma função linear é constante, ou seja, a taxa de variação entre y e x é sempre a mesma. Isso significa que, à medida que x aumenta ou diminui, y também aumenta ou diminui de forma proporcional.
   
2. Coeficiente linear
   
   O coeficiente linear, representado por b, determina o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Ele indica o valor de y quando x é igual a zero.
   
3. Proporcionalidade direta
   
   Uma característica importante da função linear é que ela expressa uma relação de proporcionalidade direta entre as variáveis x e y. Isso significa que, se duplicarmos o valor de x, o valor de y também será duplicado.
   
4. Gráfico linear
   
   O seu gráfico é sempre uma linha reta no plano cartesiano. A inclinação da reta indica o quão íngreme ou plano é o gráfico.

Aplicações práticas da função linear

A função linear possui inúmeras aplicações no mundo cotidiano, a seguir iremos explorar algumas delas:

1. Economia
   A função linear é amplamente usada na análise econômica para modelar fenômenos como oferta e demanda, custos de produção, lucro e receita. Ela permite compreender e prever o comportamento de variáveis econômicas em diferentes situações.
   
2. Física
   Na física, a função linear é utilizada para descrever o movimento uniforme, em que a posição de um objeto varia linearmente com o tempo. Também é aplicada em problemas de cinemática, como o lançamento de projéteis e a velocidade média.
   
3. Engenharia
   A função linear é fundamental na engenharia, sendo usada para representar relações lineares entre grandezas, como força e deformação, corrente elétrica e tensão, entre outras.
   
4. Estatística
   Na estatística, a função linear é utilizada para realizar análises de regressão linear, que permitem estudar a relação entre variáveis e fazer previsões com base em dados observados.

Considerações finais

Neste artigo, exploramos os principais aspectos da função linear, desde sua definição até suas aplicações práticas. Esperamos que tenha sido útil para entender melhor esse importante conceito matemático. Lembre-se de praticar os exercícios fornecidos para reforçar seu aprendizado. A função linear é uma ferramenta poderosa para descrever e analisar relações entre variáveis em diversos campos do conhecimento.

Agora, que tal colocarmos em prática o que aprendemos, e realizar uma série de exercícios sobre função linear?! As respostas estão fornecidas logo abaixo para conferência.

Exercícios sobre função linear:

1. Determine a inclinação e o coeficiente linear da função linear y = 3x – 2.
2. Escreva a equação da reta que passa pelos pontos (2, 5) e (4, 9).
3. Determine a equação da reta paralela à função y = 2x + 3 e que passa pelo ponto (1, 4).
4. Calcule o valor de y quando x = 6 na função y = -0,5x + 8.
5. Determine o valor de x quando y = 10 na função y = 3x – 7.
6. Encontre a equação da reta perpendicular à função y = -2x + 5 e que passa pelo ponto (3, -1).
7. Calcule a inclinação da reta que passa pelos pontos (-2, 1) e (5, 7).
8. Escreva a equação da reta na forma geral a partir do gráfico abaixo: (inserir gráfico aqui)
9. Determine o valor de x quando y = 0 na função y = 4x – 3.

Respostas dos exercícios:

1. A inclinação é 3 e o coeficiente linear é -2.
2. A equação da reta é y = 2x + 1.
3. A equação da reta é y = 2x + 2.
4. Quando x = 6, y = 5.
5. Quando y = 10, x = 5.
6. A equação da reta é y = 0,5x – 2,5.
7. A inclinação é 2.
8. A equação da reta é y = -2x + 4.
9. Quando y = 0, x = 0,75.